間違い報告： オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性（クロメル著）

http://hooktail.sub.jp/analytic/coodindep/

式の書き方だけの問題 と思いますが、いくつかへんです。

$$
q_i = f_i(\eta_j) \ \ \ (i,j = 1,2, \cdots n) \tag{2}
$$

これでは $f_i$ は $\eta_j$ の１変数関数になってしまい、意味不明です。
以下の意味では？

$$
q_i = f_i(\eta_1, …, \eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \cdots n) \tag{2’}
$$

以下も同様です。

$$
S = \sum_{i=1}^n \int_A^B L(q_i , \dot{q}_i) dt \tag{3}
$$

これでは以下のように、異なる座標間で何の相互作用もない、つまらないラグランジアンしか作れません。

$$
\int_A^B dt \{ L(q_1 , \dot{q}_1) + … + L(q_n , \dot{q}_n) \}
$$

以下の意味では？

$$
\int_A^B dt L(q_1, \dot{q}_1, …, q_n , \dot{q}_n)
$$

従って (4) 式は以下のような感じになると思います。
要は $\delta q_i, \delta \dot{q}_i$ を外に出してからでないと、$\sum$ の形にはなりません。

$$
\begin{eqnarray}
\delta S &=& \delta \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1, …) dt \\
&=& \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1, …) - L(q_1 , \dot{q}_1, …) \right\} dt \\
&=& \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1, …)}{\partial q_i} \delta q_i + \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1, …)}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) dt \tag{4’} \\
&=& …
\end{eqnarray}
$$

とりあえず以上です。